Задача 66136

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. В треугольники ABC и ABD вписаны окружности с центрами O₁ и O₂.
Докажите, что прямая O₁O₂ перпендикулярна BC.

Решение 1

  Будем считать, что  BC < AD.  Пусть K и M – точки касания данных окружностей с основаниями AD и BC соответственно, а BH – высота трапеции (см. рис.). Поскольку  O₁M ⊥ BC,  а  O₂K ⊥ AD,  то достаточно доказать, что  MK || BH.  Учитывая параллельность оснований трапеции достаточно проверить равенство  BM = HK.
  Как известно,  BM = ½ (AB + BC – AC),  AK = ½ (AB + AD – BD)  (см. задачу 55404). Значит,  AK – BM = ½ (AD – BC) = AH,  что и требовалось.

Решение 2

  Пусть P и Q – середины дуг AB и CD описанной окружности трапеции ABCD. Ясно, что  PQ || AD.  Прямые CO₁ и CO₂ проходят через точку P. По лемме о трезубце (см. задачу 53119)  PO₁ = PO₂.  Поскольку  ∠O₁PQ = ∠CPQ = ∠DPQ = ∠O₂PQ,  то прямая PQ – биссектриса равнобедренного треугольника O₁PO₂. Следовательно,  O₁O₂ ⊥ PQ || BC.

Замечания

Более общий факт: пусть E – точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD; тогда прямая O₁O₂ отсекает от треугольника ABE равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	8-9
задача
Номер	2