Выбрано 16 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что натуральные числа n и n2017 оканчиваются на одну и ту же цифру.
На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что MN || AB. На стороне AC отмечена точка K так, что CK = AM. Отрезки AN и BK пересекаются в точке F. Докажите, что площади треугольника ABF и четырёхугольника KFNC равны.
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа "да" или "нет". Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на все. Какое наименьшее количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?
В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что KR > MQ.
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Мудрецу С. сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. – их
произведение.
– Если бы я знал, – сказал С., – что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.
– Мое число меньше, чем твоё, – ответил П., – а искомые числа ..., ... и ... .
Какие числа назвал П.?
В треугольнике PQR угол QRP равен 60o. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.
В треугольнике ABC расположены три окружности равных
радиусов так, что каждая из окружностей касается двух
сторон треугольника. Одна из окружностей (с центром
O1) касается двух других (с центрами O2 и
O3 соответственно) и
O2O1O3 = 90o.
Установите, что больше: площадь круга, ограниченного окружностью
с центром O1, или пятая часть площади треугольника ABC?
На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.
Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.
В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.
На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?
а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких
точек X, что
AX2 = BX2 + CX2.
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный
треугольник относительно треугольника ABC
прямоугольный.
Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что BC || AD и AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?
|
|
 |
Условие
Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что BC || AD и AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?
Решение
Контрпример см. на рисунке.
Ответ
Неверно.
Замечания
Вот стандартное неверное рассуждение. Предположим, что ABCD – не параллелограмм, а трапеция (см. рис.). Тогда MN – её средняя линия, откуда следует, что ∠BCM = ∠CMN и ∠DAN = ∠MNA. Опустим перпендикуляры CP и NQ на прямые MN и AD соответственно, тогда прямоугольные треугольники CMP и NAQ равны по катету и гипотенузе. Следовательно, ∠CMP = ∠QAN = ∠MNA, значит, MC || AN. Таким образом, AMCN – параллелограмм, AM || CN, значит, и ABCD – параллелограмм.
