|
|
 |
Условие
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые l1 и l2. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на l1, равны, и отрезки, высекаемые графиками на l2, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Решение
Пусть f1(x) и f2(x) – данные приведённые квадратные трёхчлены, а параболы Г1 и Г2 – их графики. Тогда существует единственный параллельный перенос, при котором парабола Г1 переходит в Г2 (это перенос на вектор a, соединяющий вершины парабол).
Пусть прямая l1 пересекает Г1 в точках A1 и B1, а Г2 – в точках A2 и B2 так, что При параллельном переносе параболы Г1 на вектор
получается парабола Г3, являющаяся графиком приведённого трёхчлена f3(x), которая пересекает l1 в тех же точках, что и Г2. Значит, разность f2(x) – f3(x) имеет хотя бы два корня (абсциссы точек A2 и B2). Но поскольку степень многочлена f2(x) – f3(x) не выше 1, то f2(x) ≡ f3(x), то есть Г3 = Г2. Значит, вектор a параллелен прямой l1.
Аналогично a || l2, тем самым a = 0 и Г1 = Г2.
