|
|
 |
Условие
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
Решение
a) Натуральное число представляется в виде разности двух квадратов ⇔ оно представляется в виде произведения двух различных чисел одной чётности ⇔ оно нечётно и больше 1 или кратно 4 и больше 4.
Поэтому если на доске ровно одно чётное число, зачеркнём его. Если же есть два чётных числа, зачеркнём любое, отличное от них.
б) Если бы среди чисел было два чётных, то, как видно из а), вычеркнуть можно было бы по крайней мере 2005 чисел. Следовательно, 2006 – единственное чётное, и его вычеркнуть можно.
Замечания
Баллы – 2 + 2.
