ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66176
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?


Решение 1

На каждом шаге Петя уменьшает произведение чисел на доске на число, которое он пишет на бумажке:  xy(z – 1) = xyz – xy,  поэтому произведение чисел на доске сложенное с суммой чисел на бумажке не изменяется. Поскольку в конце произведение на доске будет равно 0, сумма на бумажке равна исходному произведению xyz.


Решение 2

Рассмотрим параллелепипед со сторонами x, y, z. На каждом шаге мы отрезаем от него параллелепипед толщины 1, записывая его объём на бумажку. Процесс закончится, когда отрежем всё, и сумма чисел на бумажке будет равна объёму исходного параллелепипеда.


Ответ

Произведению трёх исходных чисел.

Замечания

1. 4 балла.

2. Задача также опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №1, задача М2027).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .