Задача 66180

Темы:    [ Куб ] [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Радзивиловский Л., Гладких А.

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

Решение

На рисунке изображен восьмигранник, вписанный куб с ребром длины 4; вершины восьмигранника делят рёбра куба в отношении  1 : 3.  Квадрат длины каждого из рёбер восьмигранника равен 18 (либо  3² + 3²,  либо  4² + 1² + 1²),  то есть все его рёбра равны.

Ответ

Можно.

Замечания

1. 5 баллов.

2. Задача также опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №1, задача М2030).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5