ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66188
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Поворот (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая касается окружности в точке A. На прямой выбрали точку B и повернули отрезок AB на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок A'B'. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания A и A', делит пополам отрезок BB'.


Решение 1

Докажем, что равны перпендикуляры BD и B'D', опущенные на прямую AA'. Когда AA' – диаметр, это очевидно. Иначе треугольники ABD и AB'D' равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BDB'D' – параллелограмм, и прямая AA', содержащая его диагональ DD', делит другую диагональ пополам.


Решение 2

Отложим на прямой AB отрезок AL, равный AB. При симметрии относительно диаметра, перпендикулярного AA', отрезок касательной AL перейдёт в A'B'. Поэтому либо прямая LB' параллельна AA' (но AA' не параллельна LB, и поэтому B' не лежит на прямой LB), либо точки L и B' совпадают. В первом случае прямая AA' содержит среднюю линию треугольника LBB', а значит, проходит через середину стороны BB'. Во втором случае A – середина BB'.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2289

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .