Задача 66205

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A₀, B₀, C₀ и D₀ соответственно.
Докажите, что отрезки A₀C₀ и B₀D₀ равны.

Решение

Пусть окружность пересекает стороны AB, BC, CD, DA в точках K₁, K₂, L₁, L₂, M₁, M₂, N₁, N₂. Тогда K₁K₂M₂M₁ – равнобокая трапеция, то есть
AK₁ – DM₁ = BK₂ – CM₂,  или  AK₁ + CM₂ = BK₂ + DM₁.  Значит, проекции отрезков A₀C₀ и B₀D₀ на AB, равные соответственно
AB – ½ (AK₁ + CM₂)  и  AB – ½ (BK₂ + DM₁),  равны между собой. Аналогично равны проекции этих отрезков на BC, а следовательно и сами отрезки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
неизвестно
Номер	2