Задача 66212

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC точка C₀ – середина гипотенузы AB, AA₁, BB₁ – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C₀I и A₁B₁ пересекаются на высоте CH.

Решение

Обозначим точку пересечения C₀I и CH через H' (см. рис.). Согласно задаче 53133  CH' = r,  поэтому расстояния d_a, d_b, d_c от H' до прямых BC, AC и AB равны соответственно  r cos ∠HCB = r cos∠B = r·^AC/_AB,  r·^BC/_AB  и  d_c = CH – r.  Из равенств  (AB + BC + CA)r = 2S_ABC = AB·CH  следует, что  d_c = d_a + d_b.  Очевидно, что этим свойством обладают также расстояния от точек A₁, B₁ до прямых BC, CA и AB. Из теоремы Фалеса следует, что все точки, обладающие этим свойством, лежат на прямой A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	9