Задача 66232

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Ясинский В.

Дан треугольник ABC. Две окружности, проходящие через вершину A, касаются стороны BC в точках B и C соответственно. Пусть D – вторая точка пересечения этих окружностей (A лежит ближе к BC, чем D). Известно, что  BC = 2BD.  Докажите, что  ∠DAB = 2∠ADB.

Решение

По теореме о касательной и секущей  MB² = MA·MD = MC²,  то есть прямая AD пересекает отрезок BC в его середине M. Значит,  BM = BD,  откуда
∠ABM = ∠ADB = ∠DMB.  По теореме о внешнем угле  ∠DAB = ∠ABM + ∠AMB = 2∠ADB  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	5