ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66234
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H.  HA – точка симметричная H относительно A.  HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что  A'C' || AC.


Решение

Треугольники AHC1 и CHA1 подобны, значит, подобны и треугольники AHAC1 и CHAA1. Поэтому  ∠A'C1C' = ∠C'A1A'.  Следовательно, точки A1, C1, A', C' лежат на одной окружности и прямые A1C1 и A'C' антипараллельны относительно угла B. Поскольку A1C1 и AC также антипараллельны,  A'C' || AC  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .