Задача 66234

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Высоты AA₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H.  H_A – точка симметричная H относительно A.  H_AC₁ пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что  A'C' || AC.

Решение

Треугольники AHC₁ и CHA₁ подобны, значит, подобны и треугольники AH_AC₁ и CH_AA₁. Поэтому  ∠A'C₁C' = ∠C'A₁A'.  Следовательно, точки A₁, C₁, A', C' лежат на одной окружности и прямые A₁C₁ и A'C' антипараллельны относительно угла B. Поскольку A₁C₁ и AC также антипараллельны,  A'C' || AC  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	7