ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66237
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.


Решение

  Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. Если, например, угол ALB тупой, то он больше любого из углов треугольника BLC и треугольники ALB и BLC не подобны. Следовательно, диагонали четырёхугольника перпендикулярны. Если при этом, например, углы ABL и CBL равны, ABCD – дельтоид.
  Если же углы ABL и CBL не равны, то в сумме они составляют прямой угол. Если равны аналогичные углы при другой вершине, то снова получаем дельтоид. В противном случае ABCD – прямоугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями, то есть квадрат.
  В любом случае суммы противоположных сторон четырёхугольника равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 10

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .