|
|
 |
Условие
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.
Решение
Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке L. Если, например, угол ALB тупой, то он больше любого из углов треугольника BLC и треугольники ALB и BLC не подобны. Следовательно, диагонали четырёхугольника перпендикулярны. Если при этом, например, углы ABL и CBL равны, ABCD – дельтоид.
Если же углы ABL и CBL не равны, то в сумме они составляют прямой угол. Если равны аналогичные углы при другой вершине, то снова получаем дельтоид. В противном случае ABCD – прямоугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями, то есть квадрат.
В любом случае суммы противоположных сторон четырёхугольника равны.
