ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66240
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.


Решение

Опустим перпендикуляр H3P на прямую AC. Так как треугольник H3PH2 прямоугольный, а M – середина его гипотенузы, то  MP = MH2  и
MPH2 = ∠MH2A.  Как известно,  ∠B = ∠H1H2C = ∠H3H2A,  значит,  MP || KH2.  Треугольники AH2H3 и ABC подобны, поэтому
AM : AK = AP : AH = AH3 : AB,  откуда  H3M || BK  (см. рис.). Пусть прямая BK пересекает сторону в точке L. Поскольку прямая AK содержит медиану треугольника AH3H2, то она является медианой треугольника ABL. Это и значит, что K лежит на средней линии, параллельной AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
тур
задача
Номер 13

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .