|
|
 |
Условие
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A1, A2 симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A1A2 как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.
Решение
Нетрудно проверить, что окружности, противоположными точками которых являются основания внешней и внутренней биссектрис, перпендикулярны описанной окружности Ω треугольника. Значит, окружности α, β, γ, симметричные им относительно диаметров Ω, также перпендикулярны Ω, то есть степени центра O окружности Ω относительно всех трёх окружностей равны. С помощью теоремы Менелая можно проверить, что середины отрезков между основаниями внешних и внутренних биссектрис лежат на одной прямой. По той же теореме симметричные им центры окружностей также лежат на одной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки O на эту прямую, является общей радикальной осью окружностей, которые, следовательно, имеют две общих точки.
