ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66242
Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ]
[ Формулы для площади треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что  p(1 – 2Rr) ≥ 1,  где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.


Решение

Так как площадь треугольника со сторонами a, b, c равна  abc/4R = pr,  данное неравенство можно записать в виде  a + b + c – abc ≤ 2.  Но
a + b + c – abc = a + b + c(1 – ab) ≤ a + b + 1 – ab = 1 + a + b(1 – a) ≤ 1 + a + 1 – a = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
тур
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .