Задача 66242

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что  p(1 – 2Rr) ≥ 1,  где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Решение

Так как площадь треугольника со сторонами a, b, c равна  ^abc/_4R = pr,  данное неравенство можно записать в виде  a + b + c – abc ≤ 2.  Но
a + b + c – abc = a + b + c(1 – ab) ≤ a + b + 1 – ab = 1 + a + b(1 – a) ≤ 1 + a + 1 – a = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	15