|
|
 |
Условие
Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.
Решение
Пусть L – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABСD; O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника LAB, O' – центр описанной окружности треугольника LAD; I' – центр вписанной окружности треугольника LCD. Тогда OO' – серединный перпендикуляр к LA, а II' – биссектриса угла ALB. Таким образом, мы можем определить направления прямых LA, LB и, значит, построить серединный перпендикуляр к отрезку LB.
Пусть X, Y, Z – середины дуг LA, LB, AB описанной окружности треугольника LAB. Тогда I – ортоцентр треугольника XYZ и, поскольку нам известен угол ALB, мы можем найти угол XIY. Обозначим этот угол через φ. Теперь задача сводится к следующей.
Дан угол с вершиной O и точка I. Найти на сторонах угла такие точки X, Y, что OX = OY и ∠XIY = φ.
Возьмём на сторонах угла произвольные точки X1, Y1, для которых OX1 = OY1, и найдём на луче OI такую точку I1, что ∠X1I1Y1 = φ. Гомотетия с центром O, переводящая I1 в I, переводит точки X1, Y1 в искомые. Дальнейшее построение очевидно.
