Задача 66253

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что  DM ⊥ AC.

Решение 1

Из условия следует, что ALCB – равнобедренная трапеция, то есть  AL = AD  (см. рис.). При этом прямая AM – биссектриса, а значит, и высота равнобедренного треугольника ALD. Поэтому  AL ⊥ СD.  Аналогично  CM ⊥ AD.  Следовательно, M – ортоцентр треугольника ACD, и  DM ⊥ AC.

Решение 2

Из равенства вписанных углов BСK, CBA и BAL следует равенство дуг BAK и BCL. Также равны дуги LM и KM, а в совокупности эти четыре дуги дают всю окружность (см. рис.), поэтому BM – диаметр. Значит, треугольники BAM и BCM прямоугольные и  BA² + AM² = BM² = BC² + CM².  Следовательно,  CM² – AM² = BA² – BC² = CD² – AD².  Согласно задаче 57134 отсюда следует перпендикулярность прямых DM и AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2