ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66253
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что  DMAC.


Решение 1

Из условия следует, что ALCB – равнобедренная трапеция, то есть  AL = AD  (см. рис.). При этом прямая AM – биссектриса, а значит, и высота равнобедренного треугольника ALD. Поэтому  ALСD.  Аналогично  CMAD.  Следовательно, M – ортоцентр треугольника ACD, и  DMAC.


Решение 2

Из равенства вписанных углов BСK, CBA и BAL следует равенство дуг BAK и BCL. Также равны дуги LM и KM, а в совокупности эти четыре дуги дают всю окружность (см. рис.), поэтому BM – диаметр. Значит, треугольники BAM и BCM прямоугольные и  BA² + AM² = BM² = BC² + CM².  Следовательно,  CM² – AM² = BA² – BC² = CD² – AD².  Согласно задаче 57134 отсюда следует перпендикулярность прямых DM и AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .