ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66257
Темы:    [ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ∠A = 60°,  точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение  AN : MB.


Решение 1

Пусть P, Q – проекции соответственно точки N и центра O описанной окружности на AB (см. рис.). Тогда по условию  MQ = QP.  С другой стороны, Q – середина AB, следовательно,  BM = AP = AN/2  (поскольку в прямоугольном треугольнике APN  ∠A = 60°).


Решение 2

Пусть P – точка на описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная точке A. Точка O делит пополам отрезки AP и MN, значит, AMPN – параллелограмм. Углы A и BMP равны, так как  AC || MP.  Угол ABP прямой, так как опирается на диаметр AP. Итак, треугольник BMP прямоугольный с углом 60°, значит,  AN = MP = 2MB.


Ответ

2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .