ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66267
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.


Решение 1

  При инверсии с центром в точке X прямые AC и BD перейдут в окружности ω1 и ω2, пересекающиеся в точках X и M', окружность ω – в прямую, касающуюся этих окружностей в точках P', Q' соответственно, а окружность Ω – в прямую, параллельную P'Q', пересекающую ω1 в точках A', C', и ω2 – в точках B', D' (см. рис.). Поскольку M лежит на радикальной оси окружностей ωQ и ωP, утверждение задачи равносильно тому, что радикальная ось окружностей ωQ' и ωP' треугольников A'C'Q' и B'D'P' совпадает с прямой XM'.

  Пусть K – точка пересечения XM' и A'D'. Так как  A'K·KC' = XK·KM' = B'K'·KD',  точка K лежит на радикальной оси окружностей ωQ' и ωP'. Кроме того, окружность ωQ' вторично пересекает P'Q' в точке, симметричной Q' относительно P', а окружность ωP' – в точке, симметричной P' относительно Q'. Поэтому степени лежащей на M'X середины отрезка P'Q' относительно этих окружностей также равны.


Решение 2

  Пусть касательная l в точке X к окружности Ω пересекает AC в точке S, а BD – в точке T. Тогда SM – радикальная ось Ω и ωQ, ST – радикальная ось Ω и ω. Значит, S – радикальный центр окружностей Ω, ωQ и ω, то есть SQ – радикальная ось окружностей ωQ и ω (так как Q лежит на обеих окружностях). Аналогично TP – радикальная ось окружностей ωP и ω. Следовательно, точка G пересечения SQ и TP – радикальный центр окружностей ωQ, ωP и ω. С другой стороны, M – радикальный центр окружностей ωQ, ωP и ω, то есть MG – радикальная ось окружностей ωQ и ωP. Осталось заметить, что MG проходит через X, так как G – внешняя точка Жергонна треугольника MST.

Замечания

Внешняя точка Жергонна – точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанной окружности с прямыми, содержащими его стороны. То, что эти прямые перескаются в одной точке, легко следует из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .