ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66291
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.


Решение

  Первый способ. Из условия следует, что точка М принадлежит, по крайней мере, двум из четырёх треугольников: АВС, ВСD, ACD и ABD. Без ограничения общности можно считать, что М попала внутрь или на стороны треугольников АВС и ABD (рис. слева).   Тогда согласно задаче 55148  AM + CM < AB + BC  и  BM + DM < AB + AD.  Сложив эти неравенства, получим  AM + BM + CM + DM < AB + BC + AB + AD = PABCD.

  Второй способ. Через точку М проведём отрезки EF и GH, параллельные сторонам параллелограмма (рис. справа). Они разобьют ABCD на четыре меньших параллелограмма. Из неравенства треугольника следует, что
МА + МС < (AH + HM) + (MF + FC) = (AH + MF) + (HM + FC) = AD + DC.  Аналогично  МB + МD < AB + BC.

  Таким образом, МА + МB + МС + МD < PABCD.


Ответ

Периметр параллелограмма больше.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .