Задача 66301

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Кыранбай М.

В треугольнике ABC проведена медиана CF. Точки X и Y симметричны F относительно медиан AD и BE соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BEX и ADY совпадают.

Решение

Поскольку AFDE – параллелограмм, середины отрезков FE и AD совпадают, следовательно,  EX || AD.  Так как треугольник FEX прямоугольный, серединный перпендикуляр к EX проходит через середину EF и, значит, совпадает с серединным перпендикуляром к AD (см. рис.). Аналогично совпадают серединные перпендикуляры к DY и BE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3