Задача 66362

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Известно, что в десятичной записи числа 2²⁹ все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?

Решение

  Заметим, что  2·2²⁹ = 2³⁰ = (1024)³ < 2·10⁹.  Следовательно,  2²⁹ < 10⁹.  С другой стороны,  2²⁹ = (2¹⁰)²·2⁹ = (1024)²·512 > 5·10⁸.  Поэтому в записи числа 2²⁹ ровно девять цифр.
  Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна  1 + 2 + ... + 9 = 45.  Отсюда следует, что 2²⁹ делится на 3, что не так. Противоречие.

Ответ

Есть.

Замечания

1.  2²⁹ ≡ –4 (mod 9),  поэтому в записи этого числа отсутствует цифра 4.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.3