ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66362
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что в десятичной записи числа 229 все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?


Решение

  Заметим, что  2·229 = 230 = (1024)³ < 2·109.  Следовательно,  229 < 109.  С другой стороны,  229 = (210)²·29 = (1024)²·512 > 5·108.  Поэтому в записи числа 229 ровно девять цифр.
  Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна  1 + 2 + ... + 9 = 45.  Отсюда следует, что 229 делится на 3, что не так. Противоречие.


Ответ

Есть.

Замечания

1.  229 ≡ –4 (mod 9),  поэтому в записи этого числа отсутствует цифра 4.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .