Задача 66372
|
|
|
Условие
На гипотенузе AВ прямоугольного треугольника ABC отметили точку D так, что ВD = AС. Докажите, что в треугольнике AСD биссектриса AL, медиана СM и высота DH пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть AL и CM пересекаются в точке P (см. рисунок). Тогда утверждение задачи сводится к доказательству того, что DH проходит через точку Р.
На продолжении гипотенузы АВ отметим точку K так, чтобы AK = ВD = AС. Тогда AР – биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника САK, следовательно, AР || KC. Тогда по теореме Фалеса: MP:PC = MA:AK.
Учитывая, что МА = MD и AK = ВD, получим: MP:PC = MD:DBDP || BC. Так как ВСAC, то DPAC, то есть DH проходит через точку P, что и требовалось.
