ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66372
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе прямоугольного треугольника ABC отметили точку D так, что ВD = AС. Докажите, что в треугольнике AСD биссектриса AL, медиана СM и высота DH пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть AL и CM пересекаются в точке P (см. рисунок). Тогда утверждение задачи сводится к доказательству того, что DH проходит через точку Р.

На продолжении гипотенузы АВ отметим точку K так, чтобы AK = ВD = AС. Тогда – биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника САK, следовательно, || KC. Тогда по теореме Фалеса: MP:PC = MA:AK.

Учитывая, что МА = MD и AK = ВD, получим: MP:PC = MD:DBDP || BC. Так как ВСAC, то DPAC, то есть DH проходит через точку P, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .