|
|
 |
Условие
На продолжениях сторон
CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно
отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка
BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку
C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN
параллельна биссектрисе угла A.
Решение
Пусть прямая, проходящая через точку E и параллельная MN, пересекает прямую AB в точке X (см. рисунок). Тогда достаточно доказать, что треугольник XAE – равнобедренный. Поскольку MN – средняя линия треугольника EFX, то XF = 2NF. Используя равенства AE = BC, BF = AC и то, что длина отрезка AN равна полупериметру треугольника ABC, получим: AX = AF – XF = AB + BF – 2NF = AB + AC – 2NF = AB + AC – 2(AB + BF – AN) = AB + AC – 2(AB + AC – AN) = BC = AE. То есть треугольник XAE – равнобедренный и биссектриса его внешнего угла A параллельна основанию.
Комментарий. Также можно было продлить MN до пересечения с прямой AC и доказать равенство отрезков AN и AY, где Y – точка пересечения. Это можно сделать, например, используя теорему Менелая для треугольника EAF и прямой MN.
