|
|
 |
Условие
На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, BCD1, CDE1, DEF1, EFA1 и FAB1. Оказалось, что треугольник B1D1F1 – равносторонний. Докажите, что треугольник A1C1E1 также равносторонний.
Решение
Первое решение. Обозначим точку пересечения FF1 и A1D через X, а точку пересечения CC1 и AD1 – через Y (см. рисунок).
Лемма 1. Отрезки FF1 и A1D равны и ∠A1XF = 60°.
Доказательство. Рассмотрим треугольники F1EF и DEA1. Они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому FF1 = A1D. Далее ∠A1XF = 180° – ∠XA1F – ∠XFA1 = 180° – ∠XA1E – ∠EA1F – ∠XFA1 = 180° – ∠EA1F – ∠EFA1 = 60°.
Лемма доказана.
Перейдём к решению задачи. Рассмотрим треугольники B1FA и B1F1D1. Это два правильных треугольника с общей вершиной, поэтому углы FB1A и F1B1D1 равны 60°. Вычтя у этих углов общую часть, получим равенство углов FB1F1 и AB1D1. Треугольники FB1F1 и AB1D1 равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому FF1= AD1 и ∠B1FF1 = ∠B1AD1.
Лемма 2. Углы A1DE1 и C1CE1 равны.
Доказательство. Обозначим ∠B1FF1 = ∠B1AD1 = α. Тогда ∠XFA = α – 60° и ∠FAY = 360° – ∠B1AF – ∠B1AD1 = 300° – α, откуда ∠XFA + ∠FAY = 240°. По лемме 1 ∠FXD = ∠AYC = 120°, поэтому, записав сумму углов шестиугольника AYCDXF, получим, что сумма углов XDC и DCY равна 240°.
Тогда ∠E1CC1 = 360° – ∠DCE1 – ∠DCY = 300° – (240° – ∠XDC) = 60° + ∠XDC = ∠CDE1 + ∠XDC = ∠XDE1 = ∠A1DE1 .
Лемма доказана.
Вернемся к решению задачи. Воспользовавшись леммой 1, получим A1D = FF1 = AD1 = CC1.
Рассмотрим треугольники A1DE1 и C1CE1. Воспользовавшись предыдущим равенством и леммой 2, получим, что они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому A1E1 = E1C1. Аналогично доказывается, что A1E1 = A1C1, откуда треугольник A1C1E1 – равносторонний.
Замечание. Приведённое решение, вообще говоря, зависит от взаимного расположения точек. При другом расположении точек решение аналогично. Ниже написано решение, не зависящее от расположения точек.
Второе решение. Обозначим символом ∠(X1Y1, X2Y2) угол, на который нужно повернуть отрезок X1Y1 против часовой стрелки так, чтобы он стал одного направления с отрезком X2Y2. Если поворот осуществлялся по часовой стрелке, то значение надо брать со знаком минус. В частности, ∠(X1Y1, X2Y2) = –∠(X2Y2, X1Y1).
Рассмотрим треугольники B1FA и B1F1D1. По условию задачи они оба равносторонние, и поэтому при повороте вокруг точки B1 на 60° против часовой стрелки вершина F переходит в вершину A, точка F1 – в точку D1. Получается, что треугольник B1FF1 поворотом переводится в треугольник B1AD1 (см. рисунок). Значит, отрезок FF1 переходит в отрезок AD1, откуда следует, что FF1 = AD1 и что ∠(FF1, AD1) = 60°.
Теперь рассмотрим равносторонние треугольники EFA1 и EF1D. При повороте вокруг точки E на угол 60° против часовой стрелки вершина F переходит в точку A1, а точка F1 – в вершину D. Получается, что треугольник EFF1 переходит в EA1D, следовательно, отрезок FF1 совмещается с отрезком A1D, тогда FF1 = A1D, ∠(FF1, A1D) = 60°.
Аналогично, рассматривая равносторонние треугольники BC1A и BCD1, получаем, что C1C = AD1 и ∠(C1C, AD1) = 60°.
Сопоставляя выводы трех предыдущих абзацев, записываем связь между отрезками C1C и AD1:
C1C = AD1 = FF1 = A1D,
∠(C1C, A1D) = ∠(C1C, AD1) + ∠(AD1, FF1) + ∠(FF1, A1D) = ∠(C1C, AD1) – ∠(FF1, AD1) + ∠(FF1, A1D) = 60° – 60° + 60° = 60°
Рассмотрим поворот вокруг точки E1 на угол 60° против часовой стрелки. Треугольник E1CD правильный, и поэтому точка C перейдет в точку D. Заметим, что треугольник E1CC1 при таком повороте совместится с треугольником EDA1, так как отрезки CC1 и DA1, как уже установлено, равны по длине и находятся под углом 60° друг к другу.
Получили, что точка C1 переходит в точку A1 при повороте вокруг E1 на угол 60°. Следовательно, треугольник E1C1A1 – равносторонний, что и требовалось доказать.
