|
|
 |
Условие
В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат 10×10, все клетки которого белые, и квадрат 10×10, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем d можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат 10×10, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на d?
Решение
Рассмотрим рамку, ограничивающую квадрат 10×10, полностью состоящий из чёрных клеток. При последовательном перемещении этой рамки направо, налево, вверх и вниз можно добраться до квадрата 10×10, полностью состоящего из белых клеток. При этом на каждом шаге перемещения из рамки убираются 10 клеток и в неё добавляются 10 клеток. Таким образом, за один шаг количество чёрных клеток, содержащихся внутри квадрата, изменяется не более чем на 10.
В частности, по пути от полностью чёрного до полностью белого квадрата встретится квадрат, в котором от 45 до 55 чёрных клеток. Для такого квадрата количество чёрных и белых клеток отличается не более чем на 10.
Построим квадрат 2018×2018, в котором во всех квадратах 10×10 количество чёрных и белых клеток отличается не меньше чем на 10. Для этого в квадрате 2018×2018 проведём диагональ из нижнего левого угла в верхний правый. Все клетки над диагональю покрасим белым, а диагональ и клетки под диагональю — чёрным. В любом квадрате 10×10 все клетки диагонали из нижнего левого угла в верхний правый покрашены одним цветом, причём если этот цвет чёрный, то и все клетки над диагональю чёрные, значит, их хотя бы 55, и количество чёрных и белых клеток отличается хотя бы на 10. Аналогично, если диагональ белая, то все клетки под диагональю белые, и их не менее 55.
Ответ
10.
