|
|
 |
Условие
Можно ли представить число $11^{2018}$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?Решение
Первое решение.
Предположим противное: $11^{2018}=m_1^3+n_1^3$, $m_1,n_1\in\mathbb{N}$. Если оба числа $m_1$ и $n_1$ делятся на 11, то разделим это равенство на куб максимальной степени 11, которая делит одновременно и $m_1$, и $n_1$, пусть это $11^{s}$. Тогда получим $11^{2018-3s}=m^3+n^3$, где $3s < 2018$ и хотя бы одно из чисел $m=\frac{m_1}{11^s}$ и $n=\frac{n_1}{11^s}$ не делится на 11. Значит, оба этих числа не делятся на 11, так как иначе сумма $m^3+n^3$ не делилась бы на 11.
Поскольку $m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$ и число 11 простое, получаем $m+n=11^k$ и $m^2-mn+n^2=11^l$, где $k,l\geqslant 0$ и $k+l=2018-3s$. Поэтому $$3mn=(m+n)^2-(m^2-mn+n^2)=11^{2k}-11^l.$$ Из равенства $m^2-mn+n^2=(m-n)^2+mn$ следует, что $11^l>1$, откуда $l>0$. Значит, $mn$ делится на 11, а поэтому одно из чисел $m$ или $n$ делится на 11. Противоречие.
Это решение можно окончить иначе. Если $m+n=11^k$ и $m^2-mn+n^2=11^l$, где $k,l>0$, то числа $m$ и $-n$ дают одинаковые ненулевые остатки при делении на 11: $m\equiv -n\not\equiv 0\pmod{11}$, но тогда $m^2-mn+n^2\equiv 3m^2\not\equiv 0\pmod{11}$, и снова получаем противоречие.
Второе решение.
Пусть, от противного, $$ 11^{2018}=m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2). $$ Тогда $m+n=11^k$ и $m^2-mn+n^2=11^l$, где $k,l$ — целые неотрицательные. Поскольку $$ \frac{(m+n)^2}{4} < m^2-mn+n^2 < (m+n)^2 $$ для всех натуральных $m$ и $n$, то $$ 11^{2k-1} < \frac{11^{2k}}{4} < 11^l < 11^{2k}, $$ откуда $2k-1 < l < 2k$, что невозможно для целых чисел.
Третье решение.
С одной стороны, поскольку $2^6=64\equiv 1\pmod 9$ и $2018\equiv 2\pmod 6$, имеем $$11^{2018}\equiv 2^{2018}\equiv 2^2\equiv 4\pmod 9,$$ то есть число $11^{2018}$ даёт остаток 4 при делении на 9. С другой стороны, кубы натуральных чисел дают только остатки 0, 1 и 8 при делении на 9, так как $(9k+3l+a)^3\equiv a^3\pmod 9$ при $a=0,1,2$ и $k,l\in\mathbb{N}$. Значит, сумма кубов двух натуральных чисел может дать лишь остатки 0, 1, 2, 7 или 8 при делении на 9, но не может дать 4.
Комментарий.
Справедлив более общий факт: для любого простого числа $p\geqslant 5$ и любого натурального $n$ число $p^n$ нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел. Это можно доказать теми же методами, что использованы в первом и втором способах решения. Отметим, что при $p=2$ и $p=3$ соответствующее утверждение неверно, так как $2^1=1^3+1^3$ и $3^2=1^3+2^3$.
