|
|
 |
Условие
На доску 2018\times 2018 клеток положили без наложений некоторое количество доминошек, каждая из которых закрывает ровно две клетки. Оказалось, что ни у каких двух доминошек нет общей целой стороны, т. е. никакие две не образуют ни квадрат
2\times 2, ни прямоугольник 4\times 1.
Может ли при этом быть покрыто более 99% всех клеток доски?
Решение
Построим «паркет», в котором чередуются ряды вертикальных 2\times 1 и горизонтальных 1\times 2 доминошек. На рисунке эти ряды показаны серым и белым цветом для доски 12\times 12 (непокрытые клетки доски закрашены чёрным).
Похожий пример можно построить и для доски размером 2018\times 2018. Непокрытыми могут остаться лишь некоторые клетки первой строки и столбца, а также последней строки и столбца. Поэтому доля непокрытых клеток от их общего числа будет не более, чем \frac{4\cdot 2017}{2018\cdot 2018} < \frac{4}{2018} < 1\%. Значит, будет покрыто более 99\% всех клеток доски.
Ответ
Да, может.
