Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66492
Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть x и y — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение x, если tgxtgy=1+tgxtgy (x обозначает угол в x градусов).

Решение

Данное равенство при условии, что tgx и tgy определены, эквивалентно равенству tg(xy)=1, откуда xy=45+180n, где nZ. Следовательно, разность xy делится нацело на 45, а значит, на 5 и на 9. Поскольку сумма всех цифр делится на 9, то каждое из чисел x и y делится на 9.

Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно 98765. Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на 9, равно 98757 и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на 9, получаем числа 98748, 98739, 98730, 98721. Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку 98730=90+180548, то его тангенс не определён. Число x=98721 также состоит из различных цифр. Если взять, например, y=54036, то получим xy=44685=45+180248, поэтому число 98721 искомое.


Ответ

98721.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 81
Год 2018
класс
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .