|
|
 |
Условие
Пусть $x$ и $y$ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $x$, если $\operatorname{tg} x^\circ- \operatorname{tg} y^\circ=1+\operatorname{tg} x^\circ \operatorname{tg} y^\circ$ ($x^\circ$ обозначает угол в $x$ градусов).Решение
Данное равенство при условии, что $\operatorname{tg} x^\circ$ и $\operatorname{tg} y^\circ$ определены, эквивалентно равенству $\operatorname{tg}(x-y)^\circ=1$, откуда $x-y=45+180n$, где $n\in \mathbb{Z}$. Следовательно, разность $x-y$ делится нацело на 45, а значит, на 5 и на 9. Поскольку сумма всех цифр делится на 9, то каждое из чисел $x$ и $y$ делится на 9.
Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно $98765$. Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на 9, равно $98757$ и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на 9, получаем числа $98748$, $98739$, $98730$, $98721$. Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку $98730=90+180\cdot 548$, то его тангенс не определён. Число $x=98721$ также состоит из различных цифр. Если взять, например, $y=54036$, то получим $x-y=44685=45+180\cdot 248$, поэтому число 98721 искомое.
