ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66527
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три стороны четырёхугольника равны, а углы четырёхугольника, образованные этими сторонами, равны 90° и 150°. Найдите два других угла этого четырёхугольника.

Решение

Обозначим вершины четырёхугольника как на рисунке.

Достроим ABC до квадрата ABCX. В треугольнике XCD угол XCD равен ∠BCD – ∠BCX = 150° – 90° = 60°, а стороны CX и CD равны. Значит, треугольник XCD – равнобедренный с углом 60°, т. е. равносторонний (в частности, отрезок XD также равен стороне квадрата).

Теперь, когда мы поняли, что наш четырёхугольник получается из квадрата и правильного треугольника, можно посчитать его углы. Треугольник AXD равнобедренный с углом 90° + 60° = 150° при вершине. Поэтому ∠XAD = ∠XDA = (180° – 150°) : 2 = 15°.

Значит,
BAD = ∠BAX – ∠XAD = 90° – 15° = 75°;
ADC = ∠XDC – ∠XDA = 60° – 15° = 45°.

Ответ

45° и 75°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2020
класс
Класс 7
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .