ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66528
Тема:    [ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли данную фигуру («верблюда») разбить
а) по линиям сетки;
б) не обязательно по линиям сетки
на 3 части, из которых можно сложить квадрат?


Решение

Заметим, что площадь верблюда – 25 клеток. То есть складывать нам предстоит квадрат со стороной 5.

а) Посмотрим на 4 клетки, отмеченные на рисунке. Любые две из них "далеко друг от друга": разделены минимум 4 строками или столбцами. Поэтому при разрезании две отмеченные клетки не могут попасть в одну часть (такая часть не уместилась бы в квадрат 5 × 5). Значит, чтобы сложить квадрат 5 × 5, верблюда необходимо разрезать хотя бы на 4 части (если резать по клеточкам).

б) Как разрезать верблюда и сложить квадрат – показано на рисунке.

Комментарии.
1. Решив пункт а), можно догадаться, что в пункте б) сторона квадрата должна идти не по линиям сетки. Чтобы найти на клетчатой бумаге отрезок длины 5, не идущий по линиям сетки, полезно вспомнить про египетский треугольник (прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5).
2. Можно заметить, что сдвинутыми копиями верблюда можно замостить плоскость как паркетом (см. рисунок ниже). Отметив соответствующие точки верблюдов (на рисунке взяты "носы"), мы увидим, что они расположены в вершинах квадратной решетки. Посмотрим на один из таких квадратов. Каждая его часть – кусочек одного из сдвинутых верблюдов. Сдвинув их обратно, мы получим разрезание исходного верблюда на части, из которых можно сложить квадрат. Остаётся найти такое положение квадрата, при котором частей получается три.

Подобным образом замощения помогают решить разные задачи на разрезание. Например, при помощи замощения квадратами, показанного ниже, можно доказать теорему Пифагора!


Ответ

а) Нельзя; б) можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2020
класс
Класс 7
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .