Задача 66536

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники (прочее) ] [ Планиметрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA' и BB'. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что расстояние от точки A' до прямой B' равно расстоянию от точки B' до прямой A'.

Решение

Первое решение. Пусть углы треугольника ABC равны ∠CAB = α, ∠CBA = β. Тогда ∠B'AO = ∠CAO = 90° – β, ∠A'BO = ∠CBO = 90° – α.

Значит, расстояние от точки A' до прямой B' равно A'B sin∠A'BO = A'B sin(90° – α) = A'B cosα = ABcosβcosα, а расстояние от точки B' до прямой A' равно AB' sin ∠B'AO = AB' sin(90° – β) = AB'cosβ = ABcosαcosβ. Таким образом, эти расстояния равны.

Второе решение. Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра к AB. Пусть образом точки A' является точка A₁. Образом прямой OB является прямая OA, следовательно, расстояние от точки A' до прямой OB равно расстоянию от точки A₁ до прямой OA. Таким образом, задача сводится к доказательству равноудаленности точек A₁ и B' от прямой OA, иными словами, необходимо доказать B'A₁ ∥ OA.

Основания A' и B' высот лежат на окружности, построенной на AB как на диаметре. Так как эта окружность при рассмотренной симметрии переходит в себя, точка A₁ также лежит на этой окружности и четырехугольник AB'A₁B – вписанный, значит, ∠CB'A₁ = ∠A₁BA. В свою очередь, из соображений симметрии ∠A₁BA = ∠A'AB = 90° – ∠B. И ∠CAO = 90° – ∠B, следовательно, B'A₁ ∥ OA по признаку.

Третье решение. Пусть CC' – третья высота. Тогда A, B, C – центры вневписанных окружностей треугольника A'B'C'. Поскольку AO ⊥ B'C', BO ⊥ A'C', расстояния от A' до BO и от B' до AO равны отрезкам касательных к соответствующим окружностям.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
Класс	9
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
	1
Класс	11
задача
Номер	3