Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

Вниз   Решение


В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

ВверхВниз   Решение


Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

Вверх   Решение

Задача 66549
Темы:    [ Переправы ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 6,7
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

Решение

Предположим, что друзьям удастся осуществить желаемое. Давайте посчитаем, сколько всего возможных компаний можно составить из пяти человек (и, соответственно, сколько раз переплывёт лодка с одного берега на другой). Каждый человек может либо войти, либо не войти в компанию, то есть для каждого есть два варианта, поэтому всего вариантов 25 = 32. В том числе мы посчитали вариант, когда никто не попал в компанию. Однако лодка пустая не плавает, значит, всего компаний 32 − 1 = 31. Так как это число нечётно, то друзья должны переплыть реку нечётное количество раз, поэтому в итоге лодка окажется на противоположном берегу. Следовательно, хотя бы один из друзей завершит катание на другом берегу, пусть это будет Вася.

Посмотрим, сколько раз он мог переправиться. Каждый из его друзей может либо плыть, либо не плыть с ним, поэтому Вася входит в 24 = 16 различных компаний (в том числе он может плыть и один). Но это число чётно, значит, после катания Вася должен вернуться на исходный берег. Полученное противоречие доказывает, что покататься требуемым образом не получится.

Ответ

Не получится.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2021
класс
Класс 7
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .