Задача 87454

Темы:    [ Тела вращения ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

Решение

Пусть ABC – равносторонний треугольник ABC , вписанный в круг с центром O и радиусом R , M – точка пересечения диаметра BD с хордой AC . Тогда M – середина AC ,

OM = OB = R, BM = OB + OM = R,

MA = OA cos OAM = R cos 30^o = .
Пусть V – объём тела, образованного вращением данного круга вокруг диаметра BD (т.е. объём шара радиуса R ), v – объём тела образованного вращением треугольника ABC вокруг прямой AB (т.е. объём конуса с вершиной B и радиусом основания, равным MA ). Тогда
V = π R3, v = π · MA2· BM = π · ()2· R = π R3.
Следовательно,
= = = 0.28125.

Ответ

0.28 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7966