ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66556
Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?

Решение

Например, подходит число 12 123 434 565 679 798 080.

Поскольку $2020 = 101 \cdot 20$, а числа $101$ и $20$ взаимно простые, достаточно отдельно убедиться в делимости приведённого числа на $20$ и на $101$. Ясно, что на $20$ оно делится. Чтобы показать, что оно также делится на $101$, можно заметить, что любое число вида $\overline{a0a00{\ldots}0}$ делится на $101$, а наше число представляется в виде суммы чисел такого вида.

Комментарий.

Перечислим и некоторые другие идеи, которые могут привести к решению.

Заметив, что $1111$ кратно $101$, можно прийти к таким ответам, как $111122223333\ldots99990000$.

Обнаружив, что $10^{10} + 1$ кратно $101$, можно получить числа вида $12345679801234567980$.

Также есть примеры, в которых каждая цифра повторяется по одному разу, такие как $1237548960$.

В подборе этих чисел может помочь признак делимости на $101$, который аналогичен признаку делимости на $11$: если разбить запись числа на блоки по две цифры (начиная с конца), то знакопеременная сумма полученных двузначных чисел должна быть кратна $101$ (например, $12 - 37 + 54 - 89 + 60 = 0$ кратно $101$).

Ответ

Да, существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .