ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66563
Тема:    [ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

Решение

Обозначим количество фильмов за $n$. Представим, что человек купил билеты на те фильмы, которые ему понравились. Тогда всего продано $8n$ билетов, причем поскольку мужчинам и женщинам продано одинаковое количество билетов, то $4n$ билетов купили мужчины и $4n$ — женщины. Тогда фильмов, на которых хотя бы $7$ из $8$ билетов продано женщинам, не более чем $\frac{4n}{7}$, значит, других хотя бы $n-\frac{4n}{7}=\frac{3}{7}n$, а это и есть фильмы, понравившиеся хотя бы 2 мужчинам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .