ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66569
Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$

Решение

Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период 3. Действительно, из уравнения следует, что $f$ не принимает значения 1. В самом деле, если $f(x)=1$, то $f(x+1)=f(x+1)+1$, что невозможно. Следовательно, $f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$, поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем $$f(x+3)=\frac{1}{1-f(x+2)}=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)}=1-\frac1{f(x+1)}=f(x).$$

Ответ

Нет, не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .