Задача 66569
|
|
 |
Условие
Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей
числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство
$f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$
Решение
Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям,
имеет период 3.
Действительно, из уравнения следует, что $f$ не
принимает значения 1.
В самом деле, если $f(x)=1$, то
$f(x+1)=f(x+1)+1$, что невозможно. Следовательно,
$f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$, поэтому, применяя последовательно это
равенство,
получаем
$$f(x+3)=\frac{1}{1-f(x+2)}=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)}=1-\frac1{f(x+1)}=f(x).$$
Ответ
Нет, не существует.
