Задача 66569

Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x + 1)=f(x + 1)f(x)+1?$

Решение

Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период 3. Действительно, из уравнения следует, что $f$ не принимает значения 1. В самом деле, если $f(x)=1$, то $f(x+1)=f(x+1)+1$, что невозможно. Следовательно, $f(x+1)=\frac{1}{1-f(x)}$, поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем $$f(x+3)=\frac{1}{1-f(x+2)}=\frac{f(x+1)-1}{f(x+1)}=1-\frac1{f(x+1)}=f(x).$$

Ответ

Нет, не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	11
задача
Номер	2