Задача 66579

Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число $10$, то дописываем $24$ и получаем $1024 = 32^2$). Прав ли барон?

Решение

Первое решение. Заметим, что $99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 + 1 = 9801 < 9900$, а $100^2 = 10000 > 9999$. Таким образом, четырехзначных точных квадратов, начинающихся на $99$, не существует, поэтому к числу $99$ нельзя приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат.

Второе решение. Пусть барон прав. Двузначных чисел $90$, поэтому если к каждому приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат, то получится $90$ четырехзначных точных квадратов. Но четырехзначных точных квадратов всего $68$, так как $31^2 = 961 < 1000$, а $100^2 > 9999$. Противоречие.

Ответ

Барон не прав.

Замечания

Всего существует $25$ двузначных чисел, к которым нельзя приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат. Про каждое из них можно провести рассуждение, аналогичное первому решению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	8
задача
Номер	1