Задача 66579
|
|
 |
Условие
Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число $10$, то дописываем $24$ и получаем $1024 = 32^2$). Прав ли барон?Решение
Первое решение. Заметим, что $99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 + 1 = 9801 < 9900$, а $100^2 = 10000 > 9999$. Таким образом, четырехзначных точных квадратов, начинающихся на $99$, не существует, поэтому к числу $99$ нельзя приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат.
Второе решение. Пусть барон прав. Двузначных чисел $90$, поэтому если к каждому приписать две цифры так, чтобы получился точный квадрат, то получится $90$ четырехзначных точных квадратов. Но четырехзначных точных квадратов всего $68$, так как $31^2 = 961 < 1000$, а $100^2 > 9999$. Противоречие.
