Задача 66585

Тема:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Клепцын В.А., Гусев А.С.

Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a - b = a / b$. Что больше, $a + b$ или $a b$?

Решение

Первое решение. Рассмотрим искомое сравнение

$$a b \mathrel{\vee} a + b.$$ Умножим его на равенство $a / b = a - b$ (левую часть на левую, правую на правую). При умножении на положительное число (а $a / b$ положительно) неравенство сохранится. Получаем $$a^2 \mathrel{\vee} a^2 - b^2.$$ Отсюда ясно, что левая часть больше правой.

Второе решение. Рассмотрим искомое сравнение

$$a b \mathrel{\vee} a + b.$$ Прибавим к нему равенство $a / b = a - b$, сведя к сравнению $$a b + a / b \mathrel{\vee} 2 a.$$ Перенеся все в левую часть, можно заметить, что оно равносильно $\frac{a}{b} (b - 1)^2 \mathrel{\vee} 0$. Чтобы убедиться в том, что левая часть больше, осталось показать, что $b \neq 1$.

Действительно, предположим, что $b = 1$. Подстановка в исходное равенство дает $a - 1 = a$, противоречие.

Третье решение. Домножив равенство $a - b = a / b$ на $b$, получим $a b - b^2 = a$, откуда $a b = a + b^2$. Тогда достаточно сравнить $a + b^2$ и $a + b$, то есть сравнить $b$ с $1$. Предположим, что $b \leq 1$. Тогда $a / b \geq a > a - b$, противоречие. Значит, $b > 1$, откуда $a b = a + b^2 > a + b$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	9
задача
Номер	1