|
|
 |
Условие
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.Решение
Пусть $t$ – больший корень многочлена $x^2-10x+1$, тогда $t+\frac{1}{t}=10.$ Докажем по индукции, что число $t^n+\frac{1}{t^n}$ целое при любом целом неотрицательном $n$.
Действительно, это верно при $n=0$, 1. Кроме того, $$ t^{n+1}+\frac{1}{t^{n+1}}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)\Biggl(t+\frac{1}{t}\Biggr)-\Biggl(t^{n-1}+\frac{1}{t^{n-1}}\Biggr), $$ что позволяет проделать шаг индукции.
Положим $A=t^2$, тогда $A^n+\frac{1}{A^n}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2-2$ и $\frac{1}{A^n}<1$, значит, $A^n+\frac{1}{A^n}$ и есть верхняя целая часть $A^n,$ а ближайший к ней квадрат целого числа равен $\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2$.
Замечания
Несложно видеть, что можно взять в качестве $t$ любое число, являющееся наибольшим корнем многочлена вида $x^2 - nx + 1 = 0$, где $n$ – натуральное число, не меньшее 3. Действительно, как и в решении выше, сумма $t^n+\frac{1}{t^n}$ оказывается целой, откуда для $A=t^2$ следует утверждение задачи.
В этом решении мы увидели, что для взятых нами чисел $t$ расстояние от степени $t^n$ до ближайшего целого стремится к нулю с ростом $n$. На самом деле чисел, степени которых становятся все ближе и ближе к целым числам, больше (но про остальные нельзя сказать, что они подходят для решения данной задачи!).
А именно, пусть $P(x)$ – приведенный многочлен с целыми коэффициентами, у которого все корни (в том числе комплексные), кроме одного, по модулю меньше 1. Тогда этот корень $x_1$ вещественный, и расстояние от $x_1^n$ до ближайшего целого числа стремится к 0 с ростом $n$. Это следует из того, что сумма $n$-х степеней всех корней многочлена $P$ целочисленно выражается через его коэффициенты и потому является целой. А степени всех остальных корней стремятся к 0 – как раз потому, что они по модулю меньше 1. Это рассуждение можно прочитать в статье А. Егорова «Числа Пизо» (часть 1, часть 2); см. также проект Дробные части степеней на Летней конференции Турнира городов-2000.
Такие числа – корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами, у которого все остальные корни по модулю меньше $1$, – называются числами Пизо или числами Пизо-Виджаярагхавана. Они представляют интерес в связи с задачами диофантовой аппроксимации и изучались в работах Туэ, Харди, Пизо (см., например, Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИЛ, 1961, глава VIII).
Фрактал Рози связан с числом Пизо – корнем кубического уравнения $x^3-x^2-x-1=0$ (и с соответствующими подстановочными последовательностями); Об этом можно прочитать в статьях G. Rauzy Nombres algèbriques et substitutions и В. Клепцына Слова на ленте.
Свое название эти числа получили после публикации Шарля Пизо La rèpartition modulo un et les nombres algèebriques, который в своей диссертации открыл много замечательных свойств этих чисел.
