|
|
 |
Условие
Верхней целой частью числа x называют наименьшее целое число, большее или равное x. Докажите, что существует такое вещественное число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части A^n до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Решение
Пусть t – больший корень многочлена x^2-10x+1, тогда t+\frac{1}{t}=10. Докажем по индукции, что число t^n+\frac{1}{t^n} целое при любом целом неотрицательном n.
Действительно, это верно при n=0, 1. Кроме того, t^{n+1}+\frac{1}{t^{n+1}}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)\Biggl(t+\frac{1}{t}\Biggr)-\Biggl(t^{n-1}+\frac{1}{t^{n-1}}\Biggr),
Положим A=t^2, тогда A^n+\frac{1}{A^n}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2-2 и \frac{1}{A^n}<1, значит, A^n+\frac{1}{A^n} и есть верхняя целая часть A^n, а ближайший к ней квадрат целого числа равен \Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2.
Замечания
Несложно видеть, что можно взять в качестве t любое число, являющееся наибольшим корнем многочлена вида x^2 - nx + 1 = 0, где n – натуральное число, не меньшее 3. Действительно, как и в решении выше, сумма t^n+\frac{1}{t^n} оказывается целой, откуда для A=t^2 следует утверждение задачи.
В этом решении мы увидели, что для взятых нами чисел t расстояние от степени t^n до ближайшего целого стремится к нулю с ростом n. На самом деле чисел, степени которых становятся все ближе и ближе к целым числам, больше (но про остальные нельзя сказать, что они подходят для решения данной задачи!).
А именно, пусть P(x) – приведенный многочлен с целыми коэффициентами, у которого все корни (в том числе комплексные), кроме одного, по модулю меньше 1. Тогда этот корень x_1 вещественный, и расстояние от x_1^n до ближайшего целого числа стремится к 0 с ростом n. Это следует из того, что сумма n-х степеней всех корней многочлена P целочисленно выражается через его коэффициенты и потому является целой. А степени всех остальных корней стремятся к 0 – как раз потому, что они по модулю меньше 1. Это рассуждение можно прочитать в статье А. Егорова «Числа Пизо» (часть 1, часть 2); см. также проект Дробные части степеней на Летней конференции Турнира городов-2000.
Такие числа – корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами, у которого все остальные корни по модулю меньше 1, – называются числами Пизо или числами Пизо-Виджаярагхавана. Они представляют интерес в связи с задачами диофантовой аппроксимации и изучались в работах Туэ, Харди, Пизо (см., например, Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИЛ, 1961, глава VIII).
Фрактал Рози связан с числом Пизо – корнем кубического уравнения x^3-x^2-x-1=0 (и с соответствующими подстановочными последовательностями); Об этом можно прочитать в статьях G. Rauzy Nombres algèbriques et substitutions и В. Клепцына Слова на ленте.
Свое название эти числа получили после публикации Шарля Пизо La rèpartition modulo un et les nombres algèebriques, который в своей диссертации открыл много замечательных свойств этих чисел.
