ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66596
УсловиеСуществует ли функция f, определенная на отрезке [−1;1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству
2f(cosx)=f(sinx)+sinx?
РешениеПусть такая функция существует. Тогда, подставляя π−x вместо x в данное равенство, получаем
2f(−cosx)=f(sinx)+sinx.
Значит, f(−cosx)=f(cosx) при всех x, поэтому f(−t)=f(t) при всех t∈[−1;1], то есть функция f четная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство −x вместо x, получим
2f(cosx)=f(−sinx)−sinx,
а поскольку f четная, то f(−sinx)=f(sinx), поэтому
2f(cosx)=f(sinx)−sinx.
Вычитая это равенство из исходного, получаем sinx=0 при всех x. Противоречие.
ОтветНет, не существует. ЗамечанияОтметим, что если равенство имеет вид 2f(cosx)=f(sinx)+|sinx|, то удовлетворяющая ему при всех x функция существует, и найти ее можно следующим образом. Подставляя π2−x вместо x, получаем 2f(sinx)=f(cosx)+|cosx|=12(f(sinx)+|sinx|)+|cosx|, откуда находим f(sinx)=13|sinx|+23|cosx|=13|sinx|+23√1−sin2x. Таким образом, f(x)=13|x|+23√1−x2. Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных x.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке