Условие
Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству
$$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$
Решение
Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя $\pi - x$ вместо $x$ в данное равенство, получаем
$$2f(-\cos x)=f(\sin x)+\sin x.$$
Значит, $f(-\cos x)=f(\cos x)$ при всех $x$, поэтому $f(-t) = f(t)$ при всех $t\in[-1;1]$, то есть функция $f$ четная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство $-x$ вместо $x$, получим
$$2f(\cos x)=f(-\sin x)-\sin x,$$
а поскольку $f$ четная, то $f(-\sin x) = f(\sin x)$, поэтому
$$2f(\cos x)=f(\sin x)-\sin x.$$
Вычитая это равенство из исходного, получаем $\sin x=0$ при всех $x$. Противоречие.
Ответ
Нет, не существует.
Замечания
Отметим, что если равенство имеет вид
$$2f(\cos x)=f(\sin x)+|\sin x|,$$
то удовлетворяющая ему при всех $x$ функция существует, и найти ее можно следующим образом. Подставляя $\frac{\pi}{2}-x$ вместо $x$, получаем $$2f(\sin x)=f(\cos x)+|\cos x|=\frac12 \big(f(\sin x)+|\sin x|\big)+|\cos x|,$$ откуда находим
$$f(\sin x)=\frac13 |\sin x|+\frac23|\cos x|=\frac13 |\sin x| + \frac23 \sqrt{1-\sin^2 x}.$$
Таким образом, $f(x)=\frac13|x|+\frac23\sqrt{1-x^2}$. Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных $x$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
84 |
|
Год |
2021 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
