Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66596
Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли функция f, определенная на отрезке [1;1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cosx)=f(sinx)+sinx?

Решение

Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя πx вместо x в данное равенство, получаем 2f(cosx)=f(sinx)+sinx. Значит, f(cosx)=f(cosx) при всех x, поэтому f(t)=f(t) при всех t[1;1], то есть функция f четная. С другой стороны, подставляя в исходное равенство x вместо x, получим 2f(cosx)=f(sinx)sinx, а поскольку f четная, то f(sinx)=f(sinx), поэтому 2f(cosx)=f(sinx)sinx. Вычитая это равенство из исходного, получаем sinx=0 при всех x. Противоречие.

Ответ

Нет, не существует.

Замечания

Отметим, что если равенство имеет вид 2f(cosx)=f(sinx)+|sinx|, то удовлетворяющая ему при всех x функция существует, и найти ее можно следующим образом. Подставляя π2x вместо x, получаем 2f(sinx)=f(cosx)+|cosx|=12(f(sinx)+|sinx|)+|cosx|, откуда находим f(sinx)=13|sinx|+23|cosx|=13|sinx|+231sin2x. Таким образом, f(x)=13|x|+231x2. Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных x.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 84
Год 2021
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .