Задача 66596

Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ] [ Функции. Непрерывность (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$

Решение

Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя $\pi - x$ вместо $x$ в данное равенство, получаем $$2f(-\cos x)=f(\sin x)+\sin x.$$ Значит, $f(-\cos x)=f(\cos x)$ при всех $x$, поэтому $f(-t) = f(t)$ при всех $t\in[-1;1]$, то есть функция $f$ четная. С другой стороны, подставляя в исходное равенство $-x$ вместо $x$, получим $$2f(\cos x)=f(-\sin x)-\sin x,$$ а поскольку $f$ четная, то $f(-\sin x) = f(\sin x)$, поэтому $$2f(\cos x)=f(\sin x)-\sin x.$$ Вычитая это равенство из исходного, получаем $\sin x=0$ при всех $x$. Противоречие.

Ответ

Нет, не существует.

Замечания

Отметим, что если равенство имеет вид $$2f(\cos x)=f(\sin x)+|\sin x|,$$ то удовлетворяющая ему при всех $x$ функция существует, и найти ее можно следующим образом. Подставляя $\frac{\pi}{2}-x$ вместо $x$, получаем $$2f(\sin x)=f(\cos x)+|\cos x|=\frac12 \big(f(\sin x)+|\sin x|\big)+|\cos x|,$$ откуда находим $$f(\sin x)=\frac13 |\sin x|+\frac23|\cos x|=\frac13 |\sin x| + \frac23 \sqrt{1-\sin^2 x}.$$ Таким образом, $f(x)=\frac13|x|+\frac23\sqrt{1-x^2}$. Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных $x$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	11
задача
Номер	2