Задача 66598

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Решение

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии $0 < h < \frac12$ от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны $135^{\circ}$. Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба (см. рисунок). Найдем значение $h$, при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина $x$ стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции $\frac{x}{1} = \frac{h}{1/2} = 2h$. Другая сторона – это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна $\frac{\sqrt2}2 - h\sqrt2$. Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство $2h = \frac{\sqrt2}2 - h\sqrt2$, то есть $h = \frac{1}{2(1+\sqrt{2})} < \frac12$. Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью $\alpha$ получился правильный $n$-угольник и $n>8$. Тогда вершины этого $n$-угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин $n$-угольника.

Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ относительно вертикальной оси куба. Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины $n$-угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения $n$-угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаэдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	11
задача
Номер	5