Задача 66601
|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ – центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.Решение
Точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$, следовательно, $\angle AOB = 2 \angle C$. Треугольник $AOB$ равнобедренный, поэтому $\angle BAO =\frac{180^{\circ}-\angle AOB}{2}=90^{\circ}-\angle C$. Точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $AC$, откуда $\angle BB_1C = 90^{\circ} -\angle C$. Следовательно, четырехугольник $ABKB_1$ вписанный (см. рисунок).
Дуги $BA$ и $AB_1$ равны в силу симметрии, поэтому $\angle BKA =\angle AKB_1$. Значит, луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$, что и требовалось доказать.
