Задача 66609

Темы:    [ Дроби (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$(1-\frac{2}{f(1)})(1-\frac{2}{f(2)})(1-\frac{2}{f(3)})\dots (1-\frac{2}{f(2019)}).$$

Решение

В искомом произведении $n$-й множитель равен $$1-\frac{2}{f(n)}=\frac{f(n)-2}{f(n)}=\frac{n^2+3n}{n^2+3n+2}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}.$$ Подставляя эту дробь при $n=1,2,\ldots,2019$ в произведение и производя сокращения, получим $$\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}\cdot \frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 6}{4\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 7}{5\cdot 6}\cdot \dots \cdot \frac{2018\cdot 2021}{2019\cdot 2020}\cdot \frac{2019\cdot 2022}{2020\cdot 2021}=\frac{1\cdot 2022}{3\cdot 2020}=\frac{337}{1010}.$$

Ответ

$\frac{337}{1010}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
	1
Класс	11
задача
Номер	1