ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66609
Темы:    [ Дроби (прочее) ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

Решение

В искомом произведении $n$-й множитель равен $$1-\frac{2}{f(n)}=\frac{f(n)-2}{f(n)}=\frac{n^2+3n}{n^2+3n+2}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}.$$ Подставляя эту дробь при $n=1,2,\ldots,2019$ в произведение и производя сокращения, получим $$\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}\cdot\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}\cdot\frac{3\cdot 6}{4\cdot 5}\cdot\frac{4\cdot 7}{5\cdot 6}\cdot\ldots\cdot\frac{2018\cdot 2021}{2019\cdot 2020}\cdot\frac{2019\cdot 2022}{2020\cdot 2021}=\frac{1\cdot 2022}{3\cdot 2020}=\frac{337}{1010}.$$

Ответ

$\frac{337}{1010}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2019
Номер 82
класс
1
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .