|
|
 |
Условие
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида y=ax, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Решение
По смыслу задачи достаточно рассмотреть случай a>0. Если n<a⩽, n\in\mathbb{N}, число точек в первой координатной четверти (x > 0, y > 0) под графиком функции y=\frac{a}{x} равно S(a)=n+\left[\frac{n}{2}\right]+\left[\frac{n}{3}\right]+\ldots (сумма конечная, так как с того момента, как знаменатель окажется больше числителя, целая часть станет равна нулю). Функция S(a) является неубывающей, постоянной на каждом полуинтервале (n;n+1], n\in\mathbb{N}, \begin{alignat*}{2} S(a)& =23+11+7+5+4+3+3+4\cdot2+13\cdot1=77 \\ &\text{при } 23 < a\leqslant24,\\ S(a)&=24+12+8+6+4+4+3+3+4\cdot2+12\cdot1=84\\ &\text{при } 24 < a\leqslant25. \end{alignat*} Таким образом, функция S(a) значения 82 не принимает.
Комментарий.
Задача об асимптотическом поведении при больших a числа точек первой координатной четверти (x>0, y>0) с целочисленными координатами под графиком функции y=\frac{a}{x} называется проблемой делителей Дирихле. Если обозначить количество натуральных делителей числа n через \tau(n) (например, \tau(1)=1, \tau(3)=2, \tau(10)=4), то это число точек равно D(a)=\tau(1)+\tau(2)+\tau(3)+\ldots+\tau([a]). (здесь в сумму включено также число точек на самой гиперболе, если a\in\mathbb{Z}). С ростом a сумма D(a) растет примерно как \int_1^a \frac{a}{x} dx= a\ln a (скажем, D(23)=77, а 23\ln 23=72{,}116\ldots). Первый из известных существенных результатов в этой области получил в середине XIX века Дирихле. Отметим, что задача уточнения остаточного члена в асимптотической формуле для D(a) актуальна и в наши дни.
Ответ
Нет.
