Задача 66631
|
|
 |
Условие
Высота каждой из 2019 ступенек «лестницы» (см. рисунок) равна 1, а ширина увеличивается от 1 до 2019. Правда ли, что отрезок, соединяющий левую нижнюю и правую верхнюю точки этой лестницы, не пересекает лестницу?
Решение
Пусть $A_i$ ($i=1,2,\dots$) — основание $i$-й ступеньки (в частности, $A_1$ — левая нижняя точка лестницы), $A_{2020}$ — верхняя правая точка лестницы. Наклон (тангенс угла с горизонтальным направлением вправо) отрезка $A_iA_{i+1}$ равен $1/i$ и, значит, убывает с ростом $i$.Ясно, что отрезок $A_1A_2$ не пересекает лестницу. Докажем, что если отрезок $A_1A_n$ не пересекает лестницу, то и следующий отрезок, $A_1A_{n+1}$, ее не пересекает. Действительно, точка $A_{n-1}$ лежит не ниже отрезка $A_1A_n$, поэтому наклон отрезка $A_{n-1}A_n$ не больше, чем у $A_1A_n$. А так как у $A_nA_{n+1}$ наклон меньше (как отмечено выше), точка $A_{n+1}$ лежит ниже прямой $A_1A_n$. Поскольку отрезок $A_1A_n$ не пересекает лестницу, её не пересекает и отрезок $A_1A_{n+1}$.
Таким образом, лестницу не пересекает ни один из отрезков $A_1A_N$, в частности, $A_1A_{2000}$.
