|
|
 |
Условие
Известно, что если у правильного N-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то 2N добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
Решение
а) Посмотрим сначала на горизонтальные отрезки. Они получаются продолжением сторон квадратов (верхней и нижней грани куба) внутри кругов. Поэтому их можно разбить на две группы с одинаковой суммой.
Достаточно теперь разбить на две группы с одинаковой суммой 8 вертикальных отрезков. Посмотрим на 4 из них, лежащие в одной плоскости. Мы видим квадрат ABCD внутри круга, стороны AB и CD которого продлили до пересечения с этим кругом (точки A′, B′, C′, D′).
Докажем, что AA′+CC′=BB′+DD′. Общий перпендикуляр l к хордам A′B′ и C′D′ – ось симметрии окружности. Поэтому если l является осью симметрии и квадрата, то утверждение очевидно. А иначе – сдвинем квадрат вдоль наших хорд так, чтобы l стал его осью симметрии – если при этом AA′ и DD′ увеличиваются на x, то BB′ и CC′ на x уменьшаются, поэтому на равенство такой сдвиг не влияет.
Итак, мы разделили наши отрезки на несколько групп (две группы горизонтальных отрезков и две группы вертикальных отрезков), каждую из которых разбили на две «половины» с одинаковыми суммами длин. Утверждение пункта а) доказано.
б) Если у тетраэдра одна вершина в центре сферы, а три другие лежат на её поверхности, отрезков фактически три и все равны радиусу сферы r. Три равных отрезка нельзя разбить на две группы с равными суммами длин: в одной из групп будет «перевес» хотя бы на целый радиус.
И даже если три другие вершины лежат не на самой сфере, но близко к ней, то длины всех девяти исходящих из них отрезков не смогут покрыть «перевес» в радиус между двумя группами. Проведем точную оценку: если ребро тетраэдра равно a, то три вершины лежат на сфере радиуса a<r. Тогда любой из девяти выходящих из них отрезков не превосходит √r2−a2 (например, это следует из теоремы о касательной и секущей). Осталось подобрать радиус a так, что 9√r2−a2<r. Это выполняется при a>√8081r.
Ответ
Для куба утверждение верно, для правильного тетраэдра – не верно.
Замечания
В решении пункта а) можно было и не пользоваться в первом абзаце утверждением про квадрат в круге – в третьем абзаце мы его фактически доказали.
Утверждение про многугольник в круге (для равностороннего пятиугольника) предлагалось на Всероссийской математической олимпиаде 1989 года (задача 8 для 8 класса).
