ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66646
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У равносторонних треугольников $ABC$ и $CDE$ вершина $C$ лежит на отрезке $AE$, вершины $B$ и $D$ по одну сторону от этого отрезка. Описанные около треугольников окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ повторно пересекаются в точке $F$. Прямая $O_1O_2$ пересекает $AD$ в точке $K$. Докажите, что $AK=BF$.

Решение

Прежде всего, заметим, что треугольники $ACD$ и $BCE$ равны, поскольку $AC=BC$, $CD=CE$ и $\angle ACD=\angle BCE=120^{\circ}$. Кроме того, так как $\angle BFC=120^{\circ}$ и $\angle CFE=60^{\circ}$, точка $F$ лежит на отрезке $BE$. Наконец, треугольник $O_1CO_2$ подобен треугольнику $ACD$, следовательно, $\angle CO_1K=\angle CAK$, т.е. точки $A$, $O_1$, $K$ и $C$ лежат на одной окружности (см. рис.). Поэтому $$\angle ACK=180^{\circ}-\angle AO_1K=60^\circ-\angle CO_1K=60^{\circ}-\angle CBF=\angle BCF,$$ что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 5 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .