Условие
У равносторонних треугольников $ABC$ и $CDE$ вершина $C$ лежит на отрезке $AE$, вершины $B$ и $D$ по одну сторону от этого отрезка. Описанные около треугольников окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ повторно пересекаются в точке $F$. Прямая $O_1O_2$ пересекает $AD$ в точке $K$. Докажите, что $AK=BF$.
Решение
Прежде всего, заметим, что треугольники $ACD$ и $BCE$ равны, поскольку $AC=BC$, $CD=CE$ и $\angle ACD=\angle BCE=120^{\circ}$. Кроме того, так как $\angle BFC=120^{\circ}$ и $\angle CFE=60^{\circ}$, точка $F$ лежит на отрезке $BE$. Наконец, треугольник $O_1CO_2$ подобен треугольнику $ACD$, следовательно, $\angle CO_1K=\angle CAK$, т.е. точки $A$, $O_1$, $K$ и $C$ лежат на одной окружности (см. рис.). Поэтому
$$\angle ACK=180^{\circ}-\angle AO_1K=60^\circ-\angle CO_1K=60^{\circ}-\angle CBF=\angle BCF,$$
что равносильно утверждению задачи.
Источники и прецеденты использования
